Desigualdades

Desigualdades

Desigualdad matemática es una proposición de relación de orden existente entre dos expresiones algebraicas conectadas a través de los signos: desigual que ≠, mayor que >, menor que <, menor o igual que ≤, así como mayor o igual que ≥, resultando ambas expresiones de valores distintos.

Por tanto, la relación de desigualdad establecida en una expresión de esta índole, se emplea para denotar que dos objetos matemáticos expresan valores desiguales.

Algo a notar en las expresiones de desigualdad matemática es que, aquellas que emplean:

• mayor que >
• Menor que <
• Menor o igual que ≤
• Mayor o igual que ≥ 

Estas son desigualdades que nos revelan en qué sentido la una desigualdad no es igual. Ahora bien, los casos de aquellas desigualdades formuladas como:

• Menor que <
• Mayor que >

Son desigualdades conocidas como desigualdades “estrictas”.

En tanto, que los casos de desigualdades formuladas como:

• Menor o igual que ≤
• Mayor o igual que ≥ 

Son desigualdades conocidas como desigualdades “no estrictas o más bien, amplias”.

La desigualdad matemática es una expresión que está formada por dos miembros. El miembro de la izquierda, al lado izquierdo del signo igual y el miembro de la derecha, al lado derecho del signo de igualdad. Veamos el ejemplo siguiente:

3x + 3 < 9

La solución del enunciado anterior nos revela el planteamiento de desigualdad de las expresiones.

Desigualdades e Intervalos

Ahora sabemos que una desigualdad es una expresión algebraica relacionada por signos, y nos sirve para establecer la relación entre 2 cantidades semejantes.

Un intervalo es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente y que están comprendidos ente dos de ellos ("a" y "b"), que se denominan como extremos del intervalo. La diferencia entre ambos extremos se conoce como "Amplitud del Intervalo" y es igual al valor absoluto de su diferencia |a-b| 

Notación del Intervalo                                                Notación para la Variable
[a,b]                                                                               a<x<b

Puestos en una recta real, los valores a y b se denominan entremos del intervalo. Resolver una desigualdad significa enconrar todos sus soluciones, es decir, obtener el intervalo donde la relacion es verdadera

Propiedades de las Desigualdades

Las siguientes son las propiedades de las desigualdades para los números reales . Están cercanamente relacionadas a las propiedades de igualdad, pero hay diferencias importantes.

Dese cuenta especialmente que cuando multiplica o divide ambos lados de una desigualdad por un número negativo, debe invertir la desigualdad.

Transitividad

Para numeros reales arbitrarios a, b y c:

Si a > b y b > c entonces a > c

Si a < b y b < c entonces a < c

Si a > b y b = c entonces a > c

Si a < b y b = c entonces a < c

Adicion y sustraccion

Para numeros reales arbitrarios a, b y c:

Si a < b entonces a + c < b + c y a - c < b - c

Si a > b entonces a + c > b + c y a - c > b - c

Multiplicacion y divicion

Para números reales arbitrarios a y b, y c diferente de 0:

Si c es positivo y a < b entonces ac < bc y a/c < b/c

Si c es negativo y a < b entonces ac > bc y a/c > b/c 

Opuesto

Para números reales arbitrarios a y b:

Si a < b entonces -a > -b

Si a > b entonces -a < -b

Recíproco

Para numeros reales, a y b distintos son 0, ambos positivos o negativos a la vez:

Si a < b entonces 1/a > 1/b

Si a > b entonces 1/a < 1/b

Si a y b son de distinto signo:

Si a < b entonces 1/a < 1/b

Si a > b entonces 1/a > 1/b

Desigualdades entre medias, notación encadenada y cuerpo ordenado

a) Desigualdades entre Medias:

En matemáticas, se conoce como desigualdad entre media aritmética y geométrica, o MA-MG, aquella desigualdad que establece que la media aritmética de un conjunto de números reales positivos es mayor o igual que la media geométrica del mismo conjunto, cumpliéndose únicamente la igualdad cuando todos los elementos del conjunto sean iguales.

La media aritmética de un conjunto de números reales ${\displaystyle {x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}}$ es igual a la suma dividida por el número total de elementos,

${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}.}$

La media geométrica de un conjunto de reales no negativos ${\displaystyle {x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}\in \mathbb {R} ^{+}}$, es igual a la raíz enésima del producto de todos ellos:

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}.}$

Sea ${\displaystyle {x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}\in \mathbb {R} ^{+}}$ entonces

${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}.}$

La igualdad se cumple si y sólo si ${\displaystyle {x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}}$.

b) Notación Encadenada:
La notación a <> establece que a <>a <> es equivalente a a - e <>.

Esta notación se puede extender a cualquier número de términos: por ejemplo, a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an establece que ai ≤ ai+1 para i = 1, 2, ..., n−1. Según la propiedad de la transitividad, esta condición es equivalente a ai ≤ aj para cualquier 1 ≤ i ≤ j ≤ n.

Ocasionalmente, la notación encadenada se usa con inecuaciones en diferentes direcciones. En ese caso el significado es la conjunción lógica de las desigualdades entre los términos adyacentes. Por ejemplo, a <> c ≤ d significa que a <> c, y c ≤ d. Aparte del uso poco frecuente en matemáticas, esta notación existe en unos pocos lenguajes de programación tales como Python.

c) Cuerpo Ordenado:
En matemáticas, un cuerpo ordenado (también campo ordenado) es un cuerpo con un orden total de sus elementos que es compatible con las operaciones del cuerpo. Un cuerpo ordenado tiene necesariamente la característica 0, puesto que los elementos 0 < 1 < 1 + 1 < 1 + 1 + 1 <... son necesariamente todos distintos. 

Así, un cuerpo ordenado contiene necesariamente un número infinito de elementos: un cuerpo finito no puede ser ordenado.Los cuadrados son necesariamente no negativos en un cuerpo ordenado. Esto implica que los números complejos no pueden ser ordenados ya que el cuadrado de la unidad imaginaria i es -1. Cada cuerpo ordenado es un cuerpo formalmente real.

Espero que este blog los haya ayudado a entender un poco mas acerca de las desigualdades y las relaciones que mantiene con distintas areas de las matematicas.